Les débuts sur le circuit ATP
Il se fait remarquer chez les juniors. En 1991, il participe à la NEC World Youth Cup et contribue au premier succès de l'Espagne dans cette compétition. Deux ans plus tard, alors qu'il a déjà commencé à fréquenter les tournois seniors, il atteint la finale juniors de Roland-Garros, battu par Roberto Carretero, puis prend sa revanche en fin de saison en remportant l'Orange Bowl.
En 1993, Albert Costa découvre le grand circuit à Barcelone. Invité dans le tableau, il prend un set à Olivier Delaitre avant de s'incliner. Puis, à Santiago du Chili, il passe les qualifications, remporte son premier match ATP contre Franco Davin et crée la surprise au tour suivant en battant Alberto Berasategui, alors 47e mondial. Emilio Sanchez l'arrête en quart de finale. Costa termine l'année au 221e rang mondial.
En 1994, il change de dimension. Il remporte deux Challengers sur terre battue, à Mar del Plata en janvier puis à Turin au printemps. Il découvre aussi les tournois du Grand Chelem : issu des qualifications à Roland-Garros, il tombe dès le premier tour sur Pete Sampras, n°1 mondial, qui le bat en trois sets. Il dispute également Wimbledon et l'US Open.
Parti de loin, Costa termine cette première vraie saison au plus haut niveau à la 52e place mondiale, après avoir commencé l'année au-delà du Top 200. L'ATP le désigne révélation de l'année 1994. À 19 ans, il n'est plus seulement un espoir espagnol : il s'est installé sur le circuit principal et peut désormais s'attaquer aux meilleurs terriens du monde.

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